Problema de Anualidades

El caso básico es el que sigue: por ejemplo cuál es el monto de una anualidad de US$ 500 que se paga al final de cada año, por 5 años y al 3%. Para 5 años y al 3% en la tabla  del monto que aumenta en depósitos iguales a fin de año y todos creciendo con el interés compuesto,  es 5,309136, luego  US$ 500 x 5,309136 = US$ 2.654,57.

Cuando el número de años no se encuentra en la Tabla que llega hasta 50 años se puede obtener el resultado recurriendo a los logaritmos, así: cuál es el monto de una anualidad de US$ 1.500 anuales al 3% durante 65 años  ?

US$ 1.500 (112, 796867 x 1,557967 + 18, 598914) = US$ 1.500 x 194,3327=  US$ 29.499

Aquí estamos utilizando los datos de la Tabla, o sea:  primero 3% a 50 años de plazo que en la tabla de anualidades aparece con el factor 112, 796867 y luego buscamos el factor de interés compuesto para 3% y para 15 años que es 1,557967, y por último buscamos el factor 3% para 15 años de anualidades o sea 18, 598914. 

Con logaritmos sería así :  el log de 112,796867 = 2, 052297  más el log de 1,557967 que es 0,192558, esa suma nos daría : 052297 + 0,192558 = 2, 244855, y luego el antilogaritmo de 2,244855 es  175,73360324 . Ahora el log de US$ 1.500 + log de 194,33251713 = 3,176093 + 2,288546 = 5, 464637 y el antilogaritmo de 5,464637 es US$ 291.499.

Supongamos que el Sr. Sierra deposita en un banco US$750 que le acredita 3,18% y que al cumplir 70 años este señor desea conocer cuánto dinero tiene en ese fondo. 

La forma tradicional de hacer el estimado es,  S = US$ 750 x (1 + 0,0318) elevado a 70 menos 1 / 0,0318 = 249,9243 x US$ 750= US$ 187.443,20. 

Pero usando logaritmos sería así, log de  (1+ 0,318) elevado a 70 = 70 log (1,0318), es decir 70 x 0,0135958 = 0,951706 y el antilogaritmo de 0,951706 = 8,9475918367, así pues,

S = US$ 750  x 8,94759184 - 1 / 0,0318 =  US$ 750 x 7, 94759184 / 0,0318 = US$ 750 x 249,9242716 = 187.443,20.

Finalmente  buscaremos el valor de un Bono de US$ 1.000 que se redime dentro de 10 años y que paga el 4% de interés efectivo, y que se vende en un mercado que tiene un tipo de inteés del 6% efectivo. Lo primero que debemos decir que si un bono paga intereses edl 4% anual y el mercado está al 6% anual, entonces el interés del Bono (del cupón)  sólo se usa para calcular los ingresos futuros que es una anualidad fija pero el interés que se usa es el del mercado, en este caso 6%. Como el Bono tiene un valor de US$ 1.000 la renta será del 4% o sea US$ 40. El valor de la anualidad que buscamos es:

V = US$ 1.000 ( 1 + 0,06) elevado a la menos 10  + US$ 40 x 7,360087

En este caso 7,360087 es el factor del valor actual de una anualidad constante del 6% y en 10 años. El resultado es : V =  US$ 1.000 x 0,55839478 + US$ 40 x 7,3600087 = US$ 832.79= US$ 558,4 + US$ 294,40 = US$ 852,8.

Cuando se quiere saber el valor a perpetuidad de una renta igual a US$ 450 con un tipo de interés de 4,5%.  Valor a perpetuidad = US$ 450 / 0,045 = US$ 10.000.

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Resolución de problemas de interés compuesto con logaritmos.

Los logaritmos es una herramienta básica para las matemáticas financieras. El logaritmo es el exponente a que hay que elevar un número, que se llama base, para que reproduzca el número dado. De acauerdo con esa definición. tomaremos el número 2 como base y entonces veremos lo siguiente,

10 elevado a la 2 = 100 , entonces el logaritmo de de 100 es justamente 2. Si usted conoce el logaritmo de 7 y de 4, pude conocer el log. de 21,pues el log. de 7 es 0,84 y el log. de 4 es 0,48, entonces 0,84 más 0,48 es igual a 1,32 que es el log. de 21. El log de 320 es igual a 6 x log de 2 + log de 5, pues si el log de 2 es 0,30, entonces 6 por 0,30 = 1,8 + log de 5 = 1,8 + 0.69 =2,50.

Vamos a calcular el monto de US$ 1.200 al 1% por 6 años, o sea S= 1.200 (1 + 0,1) elevado a la 6, si vamos a tabla  del factor de interés compuesto para 1% y 6 años, encontramos 1,061 que multiplicado por 1,200 nos da 1.273. 

Cuál es el resultado de colocar en un banco US$ 3.876,43 al 5% de interés compuesto y en 6 años, el resultado es . US$ 3.876,43 x  1,340096 = 5.194,79 (el valor 1,340096 es el que aparece en la Tabla), ahora bien cuál es el log 3.876,43, es 3,588, y cuál es log de 1,340096 , es 0,127136, la suma de esos dos log es  3,588 + 0,127136 = 3,715136, y el antilogatitmo de 3,7151 es  US$ 5.194,79. 

A qué interés el valor de US$ 1.500 se convertiría en en un monto de interés compuesto de US$ 2.500 en 10 años. Lo primero es calcular la raíz décima para los valores 2.500 / 1.500 menos 1, para obtener el interés i.  Usemos entonces los logaritmos o sea 1/10 x (log de 2.500 menos log de 1.500), o sea 1/10 (3,397940 - 3,176091 =  0,10 x 0,221849 = 0,22185, y como el antilogaritmo de 0,22185 = 1,0524102, entonces el interés i  es igual a 1,0524102 - 1 = 0,0524102, es decir   5,241 %

Una ciudad tenia una población de 450.000 habitantes en el año de 1925 y de 750.000 habitantes en el año de 1944, cuál es el % de aumento. 

% de aumento = Raíz 19 de 750.000 / 450.000 menos 1 = 1/ 19 (log de 75 menos log de 45), o sea 1/19 (1,875061 - 1,653213) =  1/9  (0,2218) = 0,5263 ( 0,2218) = 0,011674 y el antilogaritmo de 0,011674 es 1,02725 menos 1 = 0, 02725 = 2,73 %. El aumento poblacional fue de 2,73% (digamos 3%).

Todo esto es  usando el interés compuesto y los logaritmos. Pero también se puede plantear un problema con anualidades, que veremos en otro apartado.

LA INFLACION según Tamara Herrera

Tamara Herrera, directora de Síntesis Financiera, proyecta que en 2014 la economía registrará una caída de 2,5% que será acompañada por una elevada inflación de 51,8%. 

 Durante su intervención en el foro organizado por Conindustria para evaluar las perspectivas del próximo año, Tamara Herrera señaló que el consumo privado también tendrá un comportamiento negativo y declinará 3,6%. Si bien el Gobierno intentará amortiguar el impacto de la inflación en las familias de menores ingresos con un alza del salario mínimo hasta 4 mil 177 bolívares, en término reales durante 2014 descenderá la capacidad de compra de quienes cada mes obtienen el sueldo base. Rediseño total 

 En materia cambiaria Síntesis Financiera espera que se acentúe el sistema de distintos precios para el dólar. Cadivi contaría con dos tipos de cambio. 

Uno de 6,30 bolívares para las importaciones esenciales y otra de 12 bolívares, que además serían acompañadas por un mercado complementario donde la compra de divisas podrá hacerse con mayor libertad pero a un tipo de cambio que estaría en el orden de 25 bolívares por dólar. El tipo de cambio ponderado para las importaciones del sector privado se ubicaría en 11 bolívares por dólar, de tal forma, que la depreciación del bolívar sería de 83%. 

 A pesar de este severo ajuste, el bolívar seguiría con una fuerte sobrevaluación en el orden de 62%. Petróleo gris Las proyecciones en materia energética apuntan a un entorno petrolero mundial con precios estables y riesgo de tendencia a la baja. 

 Tamara Herrera indica que la cesta petrolera del país está golpeada en su composición porque ha disminuido la cantidad de crudos livianos, que son los más costosos, mientras aumentan los pesados. Además impacta el retraso en el plan de inversiones y por tanto no se prevé un incremento en la producción de barriles de petróleo hasta 2017. El resultado es un desbalance entre los gastos en