Las 6 formulas financieras en la evaluacion de proyectos

La siguiente tabla resume las fórmulas financieras cuando se quiere hallar una variable dada otra variable, así como los factores que se pueden encontrar, dada una determinada tasa de interés anual ( i% ) y una duración del periodo (n). LA PRIMERA FORMULA se refiere al factor de interés compuesto para un valor F (futuro) que alcanzará una cantidad inicial (P). LA SEGUNDA FORMULA corresponde al factor de descuento o valor actual de una cantidad en fecha futura. LA TERCERA FORMULAes el factor de interés compuesto para depósitos iguales necesarios para alcanzar un valor F en un año determinado. LA CUARTA FORMULAes el valor actual de una anualidad constante. LA QUINTA FORMULA es el factor del fondo de amortización o depósitos anuales uniformes necesarios para alcanzar un valor en un año determinado y LA SEXTA FORMULA es el factor de recuperación del capital, o sea los pagos anuales que se requieren para cancelar un préstamo en un plazo dado y a un tipo de interés definido.

Resumen de fórmulas fianancieras

Hallar	Dado	Fórmula	Factor
F	P	F= P ( 1 + i ) n	(F/P,i%,n)
P	F	P= F 1 / (1+i) n	(P/F,i%,n)
F	A	F= A (1 + i) n – 1/ i	(F/A,i%,n)
A	F	A= F i / (1+i) n - 1	(A/F,i%,n)
A	P	A= P i ( 1 + i ) n/ (1 + i ) n -1	(A/P,i%,n)
P	A	P= ( 1 + i) n -1 / i (1+i)n	(P /A, i%, n)

Pongamos unos ejemplos para aclarar estas fórmulas:

Ejemplos para la primera fórmula:
Si se depositan $ 2.045 a un interés compuesto del 7% anual durante 8 años, ¿cuál será el saldo al final del octavo año ?
F = 2.045 x (1 + 0,07) elevado a la 8
F = 2.045 x 1,718186 = $ 3.513,69

En año 2.005 pasaban, en promedio, por una carretera 353 vehículos al día. Se prevee un incremento del tráfico del 10% anual durante 10 años. ¡ Cuál será el promedio de vehículos que pasarían por esa carretera en el año 2.015 ?
F = 353 x ( 1 + 0,10 ) elevado a la 10
F = 353 x 2,593742 = 916 vehículos díarios en promedio

Ejemplo para la segunda fórmula:
El beneficio neto de un proyecto de irrigación en el año 14 del proyecto se estimó en $ 173.831. Actualizado a una tasa de interés del 20%, ¡ cuál es el valor actual al comienzo del proyecto (año cero) ?
P = 173.831 x 1/ 1,20 elevado a 14
P = 173.831 x 0,077887 = 13.539,18

Ejemplo para la tercera fórmula:
El 31 de diciembre de cada año, durante 9 años consecutivos, se deposita la cantidad de $ 782 en una cuenta que devenga el 6% de interés anual. ¡Cuál será el balance al final del noveno año ?
F = 782 x ( 1,06 ) elevado a la n menos 1 / 0,06
F = 782 x 11,491316 = 8.986,21

Ejemplo para la cuarta fórmula:
Se estima que un agricultor que posee 15 acres de tierra y que invierte una cantidad de dinero en un pozo entubado, obtiene como promedio un ingreso neto adicional de $ 4.415 cada año durante 15 años de vida del pozo. Descontado al 18%.¡Cuál es el valor actualizado de esa corriente de ingresos para el agricultor en el momento de efectuar su inversión (año cero) ?
A = 4.415 x 0,18 / ( 1,18) elevado a la 15 menos 1
A = 4.415 x 5,091678 = 22.479,76

Ejemplo para la quinta fórmula:
Al implantarse un nuevo sistema de regadío, se decidió que los agricultores deberían abonar una cantidad suficiente para reemplazar las bombas una bvez desgastadas. Es decir, los agricultores tendrían que pagar un recargo por concepto de reemplazo, pero se señaló que ese dinero aportado por los agricultores debería inverstirse en bonos del estado que devengaban un interés del 11% anual. El reemplazo de las bombas al cabo de 15 años costaría $ 875.000. ¿ Cuál debe ser la cantidad anual a recaudar de cada agricultor ?
A = P x 0,11 ( 1,11) elevado a la 15 / (1,11) elevado a la 15 menos 1
A = 875.000 x 0,029065 = 25.432

Ejemplo para la sexta fórmula:
El Banco de Desarrollo Agropecuario presta fondos a los agricultores al 8% de interés para financiar la construcción de pozos entubados. Si un agricultor recibe un préstamo de $ 8.790 para un pozo entubado y a reembolsar el préstamo en 10 años, ¡Cuánto es la cantidad anual que le corresponde pagar por concepto de interés y de amortización del principal combinados ?
P = A x ( 1,08 ) elevado a la 10 menos 1 / 0,08 (1,08) elevado a la 10
P = 8.790 x 0,149029 = 1.310,0 servicio de la deuda o cuota anual

Analisis del punto de equilibrio

El punto de equilibrio es el nivel de ventas mínimo que haría que un proyecto o una empresa terminara un año de operación sin pérdidas ni ganancias. Este punto de equilibrio teóricamente se logra cuando se vende un número de unidades cuyo margen de contribución iguala los costes fijos, siendo el margen de contribución la diferencia entre el precio de venta por unidad y el coste variable por unidad. Entonces la fórmula general para encontrar el número mínimo de unidades / año que es necesario producir y vender sin obtener ni pérdidas ni genancias es:

Punto de equilibrio = costos fijos / precio unitario menos costo variable unitario

Los costes fijos son aquellos que por ser contractuales no se relacionan con las ventas; es decir, no importa la cantidad vendida, los costos fijos siempre permanecen iguales: como los intereses pagados a un banco por un crédito concedido, la depreciación, los gastos diferidos o preoperativos, y cuaqluier erogación como un sueldo para pagar los profesionales o los asistentes. Pues bien, si los costes fijos operativos de un proyecto son 10 millones y además, la depreciación y los diferidos montan a 7 millones y los intereses para pagar a un banco son de 3 millones, entonces el total los costes fijos de ete ejemplo montan a 20 millones. El otros elemento que entra en la fórmula es el margen de contribución; si el precio unitario es igual a $ 1.000 y los costes variable unitarios es igual a $ 700, entonces el margen de contribución es igual a = $ 1.000 - $ 700 = $ 300 por unidad producida y vendida. Así pues, de acuedo a la fórmula anterior el punto de equilibrio, en este ejemplo, es como aparece en seguida:

P.E. = $ 20.000.000 / $ 300 por unidad = 66.667 unidades por año

Lo que indica este hallazgos es que este proyecto o empresa debería vender 66.667 unidades al año para no obtener ni perdidas ni ganancias . Como el precio unitario es $ 1.000, entonces al vender solamente $ 66.667.000 (el 67% de la capacida istalada), con esta venta solamente se cubren los costes fijos y no se obtiene ni pérdidas ni ganancias; en efecto, si se vende $ 66.667.000 y a esa cantidad se le restan el 70% de costes variables o sea $ 46.666.900, lo que resta es justamente $ 20.000.000 que son los costes fijos ( $ 66.67.000 menos $ 46.666.900 = $ 20.000.000 ) que al restarse entonces no se obteine ni pérdidas ni ganancias. Toda venta superior a 66.667 unidades al año permitiría comenzar a obtener ganancias y toda venta por debajo de 66.667 aseguraría pérdidas seguras.

Asi se formula y evalua un proyecto

METODOLOGIA

Con este pequeño y simple ejemplo se trata de medir el FLUJO de EFECTIVO de los socios de un proyecto con un horizonte temporal de sólo 3 años. Se comienza con los estimados a invertir y la manera de financiar esa inversión con una mezcla balanceada entre las obligaciones (el crédito bancario) y el patrimonio (el capital propio). Luego se hace una tabla del presupuesto de las posibles ventas físicas y la tabla de amortización del crédito, así como la tabla de depreciación de los activos fijos y la amortización anual de los activos diferidos. Con estos datos previos, ya se puede proyectar el Estado de Resultado y finalmente el Flujo de Efectivo. Claro, en este ejemplo se supone que el proyecto se formula en un lugar geográfico donde la inflación es muy baja y no repercute en el resultado final.

Un resumen breve del proyecto es como sigue: Un grupo de empresarios han concebido la idea de poner en marcha un negocio para elaborar un producto de rápida obsolescencia, por lo que se podría estar en el mercado solamente durante 3 años, y en ese lapso la maquinaria se depreciaría totalmente sin valor salvado y no se recuperaría tampoco los inventarios o sea el capital de trabajo. El estudio del mercado arrojó la posibilidad de vender 100.000 unidades al año, después de los 2 primeros años. Cada una de esas unidades se podría vender a $ 1.000 y tendría un coste variable igual a $ 700 por unidad, y un coste fijo anual igual a $ 10 millones.

La inversión requerida para el proyecto es de $ 30 mil, de los cuales $ 18 mil estarían representados por maquinarias , luego $ 3 mil para pagar el coste de los estudios de factibilidad (activos diferidos) y unos $ 9 mil restantes para tener una Caja siempre disponible para operar durante un mes (capital de trabajo).

La inversión estaría respaldada por $ 15 mil por parte de los socios y otros $ 15 mil de un crédito bancario pagadero en un plazo de 3 años y con un 20% de interés sobre los saldos deudores. Además, la empresa debería tributar el 40% por concepto de Impuesto sobre la renta (ISR), los cuales se pagarían en el mismo año en que se causan. Un resumen de la inversión ys u financiamiento aparece en seguida:

Se supone que el mercado permite que primero se pueda colocar sólo el 70% de la capacidad instalada de sus productos o sea el setenta por ciento de 100.000 unidades físicas (tamaño del proyecto) , luego se podría colocar en el mercado el 80% y ya para el tercer año se podría colocar el 100% que se tenía previsto.

El balance del proyecto en su primer día de operación daría un total de activos a invertir de $ 30 mil, es como sigue:

ACTIVOS: caja 9; gastos preoperativos 3; maquinaria 18.
PAIVOS : crédito 15 y capital propio 15.

Para poder proyectar el Estado de Resultado del proyecto, el primer paso es determinar las ventas físicas, como aparece en seguida:

Tabla de la venta (Unidades Físicas)

Rubros	Año -	Año 1	Año 2	Año 3
Venta (contado)	0	70	80	100

En la tabla que sigue aparece la tabla para amortizar la deuda o el crédito,en lo que respecta el pago del principal y el pago de los intereses :

Tabla para amortizar el crédito bancario (en miles de $)

Rubros	Año 0	Año 1	Año 2	Año 3
Principal	15	-	-	-
Pago principal	-	(5)	(5)	(5)
Saldo restante	-	15	10	5
Interés al 20%	-	(3)	(2)	(1)

El cuadro anterior, al igual que los siguientes, presentan las cifras en miles de US$. Además, el período cero es aquel en que se hace la inversión inicial o se recibe el crédito y aparecen en paréntesis para indicar que son desembolsos.

La depreciación y los activos diferidos son solamente gastos de tipo contable que no representan erogación periódica. Las proyecciones durante 3 años y asumiendo que la depreciación de los activos fijos y la amortización de los activos diferidos es lineal y aparece en seguida:

Las Depreciaciones (en miles de US$)

Rubros	Año 0	Año 1	Año 2	Año 3
Maquinaria	18	-	-	-
Depreciación	-	(6)	(6)	(6)
Activos diferidos	3	-	-	-
Amortización	-	(1)	(1)	(1)

Con la información anterior, ya es posible elaborar un Estado de Pérdidas y Ganancias pro-forma, como aparece en la tabla siguiente:

Estado de Resultado (Miles de $)

Rubros	Año 1	Año 2	Año 3
Ventas a $ 1.000 /unidad	70	80	100
- Costo variable ($ 700 unidad)	49	56	70
- Costo fijo	10	10	10
- Intereses	3	2	1
- Depreciación	6	6	6
-Activos diferidos	1	1	1
Utilidad gravable	1	5	12
- Menos ISR (40%)	0,40	2	4,8
Utilidad después de ISR	0,60	3	7,20

Las utilidades después de pagar el impuestos sobre la renta (ISR) no es, sin embargo, la única riqueza que produce este proyecto. Se puede observar que el proyecto generó $ 7 mil más cada año, representados en el cargo por depreciación y el cargo por los activos diferidos. Por otra parte, sabemos que el proyecto tiene que erogar $ 5 mil para repagar la deuda bancaria y estos elementos, como veremos, van a aparecer en el FLUJO DE EFECTIVO que nos acercará a los resultados que interesan para poder EVALUAR este proyecto, al comparar los saldos que le quedarían a los socios, a valor presente, con la inversión patrimonial realizada en el año cero y por US$ 15 mil.

Para proyectar el Flujo de Efectivo, es necesario mantener siempre en CAJA $ 9 mil como capital de trabajo, pues aunque se reparta a los socios del proyecto una determinada cantidad de dinero disponible, siempre hay que tener la provisión que sobren los $ 9 mil mencionados.

Se debe observar que en el Flujo de Efectivo vuelven a aparecer como fuentes de efectivo los valores tanto de la depreciación como de los activos diferidos, que en El Estado de Resultadohabían sido restados atendiendo a la ventaja fiscal que proporciona la Ley del ISR. Veamos entonces cómo aparece para este proyecto el FLUJO DE EFECTIVO :

Flujo de Efectivo (Miles de US $)

Rubros	Año 0	Año 1	Año 2	Año 3
FUENTE DE EFECTIVOS
Caja inicial	-	9	9	9
Aporte Socios	15	-	-	-
Crédito Bancario	15	-	-	-
Utilidad antes ISR	-	1	5	12
Depreciación	-	6	6	6
Activos diferidos	-	1	1	1
TOTAL EFECTIVO	30	17	21	28
USO DEL EFECTIVO
Compra maquinarias	18	-	-	-
Activos diferidos	3	-	-	-
Pago de deuda	-	5	5	5
Pago de ISR	-	0,40	2	4,80
Reparto a Socios	-	2,60	5	18,20
TOTAL USOS	21	8	12	28
Saldo final de CAJA	9	9	9	0

Se advierte que el Saldo de Caja (capital de trabajo) en el último año es igual acero, por ser el fin del proyecto.

De la proyección del Flujo de Efectivo se llega a obtener el Flujo de Efectivo Neto para los Socios que como se sabe habían invertido en el año cero $ 15 mil y han recuperado: 2,60, 5,0 y 18,2.

En seguida entonces la evaluación de este proyecto de 3 años de horizonte temporal y suponiendo un Coste de Oportunidad del 20% por año es decir que esa sea la Tasa Mínima Atractiva de Rendmiento (TMAR), es como sigue:

S 15 x 1,0 = $ 15
$ 2,60 x 0,8333 = $ 2,17
$ 5,0 x 0,6944 = $ 3,47
$ 18,2 x 0,5787 = $ 10,53

Así pues, este proyecto ha generado a valor presente la sumatoria de $ 16,17 (en miles) lo cual es un valor superior a $ 15 mil que los socios habían invertido, es decir que el Valor Actual Neto es igual a $ 16,17 menos $ 15 = $ 1,17 (en miles).

Igualmente, la Tasa Interna de Retorno (TIR) del proyecto es igual al 25%, mucho mayor que la Tasa Mínima Actractiva de Rendmiento (TMAR) del 20%. En efecto, si los flujos de caja se descuentan con la tasa del 25% entonces el resultado hace que el VAN sea igual a cero, como aparece de inmediato:

$ 15 x 1,0 = $ 15
$ 2,60 x 0,8000 = $ 2,08
$ 5,0 x 0,6400 = $ 3,20
$ 18,2 x 0,5120 = $ 9,32

La sumatoria de $ 2,08 + $ 3,20 + $ 9,32 es igual a 14,6 (digamos 15), entonces si los socios han invertido US$ 15 mil y recuperan la misma cantidad es de cir $ 14,6 (digamos 15), ello quiere decir que el VAN es igual a cero y la tasa interna de retorno es del 25%.

En resumen: el proyecto es arroja un VAN positivo de US$ 1,17 y arroja una Tasa Interna de Retorno (TIR) del 25% mayor que la Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento (TMAR) del 20% que fue el criterio para hacer el descuento. En conclusión¨el proyecto es financieramente factible.

(Fuente del ejemplo: Luis F. Gutierrez Marulanda,Decisiones Financieras y Costo del dinero en economías inflacionarias,Bogotá, Editorial Norma, 1985, pp. 4-10. )