Mi profesor universitario de matemática financiera siempre nos señalaba que uno de los conceptos más útiles para esa asignatura era la teoría de los logaritmos, entendiendo por logaritmos como el exponente a que hay que elevar un número que se llama BASE para que reproduzca el número dado. Es decir: si tomamos el número 2 como BASE, el logaritmo del número 8 será 3, ya que: 2 elevado a la 3 = 8, y el logaritmo de 100 con BASE 10 será 2, porque: 10 elevado a la 2 = 100. Claro hoy en todas las calculadoras se puede calcular el logaritmo en forma instantánea.
Ahora bien porqué se relaciona la teoría de los logaritmos con la matemática financiera, pues cuando se cálcula, por ejemplo, el interés compuesto y no se puede hecer con una Tabla, entonces apelamos a los logaritmos. En efecto, supongamos que nos piden buscar el monto de interés compuesto que corresponde a US$ 1.875,43 al 4,68% y durante 35 años: la expresión para resolver este problema es : S = 1.875,43 ( 1 + 0,0468) elevado a 35.
Pero el asunto es que : (1+0,0468) elevado a la 35 no aparece en las Tablas, entonces tenemos que apelar a los logaritmos, o sea:
log S = log 1.875,43 + log 1,0468 elevado a 35
log S = log 1.875,43 + 35 log 1,0468
log S = 3,273101 + 35 x 0,019864
log S = 3,273101 + 0,695240
log S = 3,968341
S = antilogaritmo de 3,968341
S= $ 9.296,96
Si el problema es obtener el monto de una anualidad de US$ 500 a interés compuesto por ejemplo al 3% anual y para 5 años, esto se si encuentra en la Tabla, pues el Factor de Interés compuesta para 3% y para 5 años es : 5,309136 x US$ 500 = US$ 2.654,57.
Pero si se pide el resultado de una anualidad de US$ 1.500 al 3% durante 65 años, como la tabla llega solamente hasta 50 años, la única manera de resolver el problema con la tabla es de esta manera:
= 1,500 ( 112,79686729 x 1,557967 + 18,59891389)
= US$ 291.499, 14
Es decir, se utiliza primero el Factor de Interés Compuesto de una anualidad al 3% pero para 50 años (112,79686729) y se complementa con el Factor de Interés Compuesto de una cantidad x al 3% y para 15 años (1,557967), para luego sumar el Factor de Interés Compuesto para una anualidad al 3% pero para 15 años ( 18,59891389),
Pero esto se puede hacer también con logaritmos de esta manera:
= log US$ 1.500 + log [ de 50 al 3% ( 1+ 0,03 ) a la 15 + log de 15 al 3% ]
= log de 50 al 3% + log (1 + 0,03) a la 15
= 2,052297 + 0,1925558
= 2,244855 y su antilogaritmo es igual a 175,73360324
Entonces el log 1,500 + log (175.73360324 + 18.59891389)
= log 1500 + log 194,33251713
= 3.176091 + 2.288546 = 5.464637
antilogaritmo de 5,464637 es US$ 291.498,66
Supongamos que una persona tiene $ 5.000 en una cuenta de ahorro y $ 10.000 en una cuenta corriente y que ambas rinden interés compuesto. La cuenta de ahorro durante 15,25 años le renta el 3% al año y la cuenta corrriente en los mismos 15,25 años le renta el 2,68%. Pero la cuenta de ahorro durante 5 años le rinde el 3% pero que en los años restantes o sea 10,25 años le renta sólo 2%, en cambio el interés compuesto de la cuenta corriente si mantiene su interés anual del 2,68% durante todos los años. Esa persona espera que al final tendrá una cantidad de dinero sufiente para comprar un terreno, entonces:
¿Cuál será el valor del terreno?
Veámos este análisis con logaritmos, de esta manera:
CUENTA DE AHORRO
S = 5.000 (1 + 0,03 ) elevado a la 5 x (1 + 0,02) elevado a la 10,25
log S = log 5.000 + log (1 + 0,03 ) a la 5 + log ( 1 + 0,02) a la 10,25
log S = 3,698970 + 0,0641861 + 0,088150
log S = 3,8513061
S = antilogaritmo de 3,8513061
S = $ 7.100,78
CUENTA CORRIENTE
S = 10,000 ( 1 + 0,0268) a la 15,25
log S = log 10.000 + 15,25 x log 1,0268
log S = 4,000000 + 0,175146
log S = 4,175146
S = antilogaritmo de 4,175146
S = $ 14.967,38
Entonces el valor del terreono será la suma de $ 7.100,78 + $ 14.967,38 = $ 22.068,16
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